性质1 任何一组实数所的方差都是非负实数．

性质2 若一组实数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数．

运用这两个性质和方差计算公式，常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题．

例1、已知x+y=8，xy?z2=16，求x+y+z的值．

解：∵x、y的平均数为=4，xy=16+z2，

∴x、y的方差s2=[(x?4)2+(y?4)2]=[x2+y2?8(x+y)+32]=[(x+y)2?2xy?8(x+y)+32]

=[64?2(16+z2)?64+32]=?z2

由性质1，得?z2≥0，∴z2≤0

∴z2=0，z=0，∴s2=0

由性质2，得x=y=4

∴x+y+z=4+4+0=8．

例2、已知a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求a+2b+ 3c的值．

解：∵a、b、c的平均数是=2，

∴a、b、c的方差s2=[(a?2)2+(b?2)2+(c?2)2]=[(a2+b2+c2)?4(a+b+c)+12]

=(12?24+12)=0．

由性质2，得a=b=c=2．

∴a+2b+3c=12．

例3、设m、n、p均为正实数，且m2+n2?2p2=0，求的最小值．

解：m、n的平均数=．

m、n的方差为s2=[(m?)2+(n?)2]=[(m2+n2)?2(m+n)+22]

=[(m2+n2)?(m+n)2+(m+n)2]=[2p2?(m+n)2]

由性质1，得[2p2?(m+n)2]≥0

∴2p2?(m+n)2≥0，∴≥．

∵m、n、p为正实数，∴≥．

练习：已知，，求的值．